QC検定2級・3級で頻出の数式一覧・早見表2

資格 QC検定

【QC検定の数式一覧・早見表(後半)】相関・実験計画法・管理図

2022年3月24日

 

どうも、RyeChemです!

今回の記事は【QC検定の数式一覧・早見表の後半Part】になります!

 

QC検定は実践分野の暗記はさほど苦にはならないですが、手法分野の計算問題が肝。

逆に言えば数式を暗記し、問題慣れしてしまえば、QC検定は2級までは非常に簡単な資格です。

今回の記事では相関・実験計画法・管理図の分野をまとめていきます。

 

けむぱんだ
今回の記事はこんな人にオススメ!

  • QC検定2級・3級の受験をする方
  • 数式を覚えるのが苦手な方
  • 頻出の数式一覧を確認したい方

 

【QC検定の数式一覧・早見表】の前半part(基本統計量~検定・推定分野まで)はコチラから

QC検定2級・3級で頻出の数式一覧・早見表
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相関分析と回帰分析

まず、『相関分析』と『回帰分析』から始めていきましょう。

 

相関分析

相関とは、xの連続的な変化に対して、yも対応して連続的に変化をする関係のことをいい、xとyの間に相関があるといいます。

「散布図に値をプロットしてみると、何やら傾向が見えてきそう…。」

こんな時に相関関係を分析します。

 

相関係数

相関関係の密接さを表す尺度として、相関係数\(r\)があります。

相関係数\(r\)は\(-1\le r\le 1\)の範囲を取り、絶対値が1に近いほど相関関係が密接であると言えます。

相関係数は\(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x}\times\sqrt{S_y}}\)と表すことができます。

このとき、各種平方和は以下のように求められます。

\(S_x=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}\)

\(S_y=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n}\)

\(S_{sy}=\sum x_i・y_i-\frac{(\sum y_i)(\sum x_i)}{n}\)

凡そ、相関係数が表す、xとy間の相関の強さは以下の目安で判断されます

\(r\ge 0.8\):強い相関がある

\(0.8> r \ge 0.6\):相関がある

\(0.6> r \ge 0.4\):弱い相関がある

\(r < 0.4\):ほとんど相関無し

※ただし、直線関係しか考慮していないため、二次関数や指数関数等に当てはまる場合にはこの限りではありません。

たまに「相関係数が0に近い場合には2つの変数に関係がないと言えるか否か」という問題も出題されています。

これは、上述の通り、関係がないとはいえない可能性がありますので、否となります。

 

寄与率

相関係数\(r\)を二乗したものを寄与率と言います。

寄与率は二乗値のため、0から1の範囲を取り、1に近づくほどxの変化がyに及ぼす影響が強いと言えます。

回帰分析の項で再度お話ししますが、寄与率は\(r\)の二乗値の他にも以下により表すことができます。

寄与率\(R=r^2\)

寄与率\(R=\frac{S_R(回帰による変動)}{S_T(総変動)}\)

意味は後ほど解説しますが、一緒に頭に入れておくと良いでしょう。

 

相関係数に関するt検定

相関分析の範囲が試験で出題されると、表の読み取りから平方和・相関係数・寄与率の算出というパターンできたら非常に簡単でラッキー!

ただし、相関に関するt検定という形で出題されることも多いです。

けむぱんだ
直近数回の約半数はこの無相関に関するt検定が出題されてるね!

検定の方法は、①帰無仮説の設定、②検定統計量の算出、③棄却限界値と比較といういつも通りの手順です。

覚えるべきは、相関係数を用いた検定統計量の算出式です。

\(t_0=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt1-r^2}\)

上記検定統計量は母相関係数が0の場合、自由度\(n-2\)のt分布に従います。

けむぱんだ
自由度n-2に注意しよう!相関と自由度n-2ときたらコレ!

帰無仮説にρ=0(無相関である)とおき、対立仮説にはρ≠0。

検定統計量が\(t(\phi、\alpha)\)以上であれば、帰無仮説を棄却し、相関があると判断します。

 

回帰分析

散布図にプロットした点から相関がありそうな線を見出し、“代表”させることを回帰といいます。

回帰分析とはこの近似線を導き出す分析方法になります。

QC検定2級・3級の範囲では変数\(x\)(説明変数)が1つの単回帰分析のみが出題範囲となっていますので、2つ以上の重回帰に関しては考慮しません。

ちなみに、変数\(x\)を説明変数と呼ぶのに対し、\(y\)は目的変数と呼びます。

けむぱんだ
たまに出題されるから覚えておこうね!

 

回帰式と最小二乗法

実測値\(x、y\)から直線関係を見出した時、実際には実測値\(y_i\)は必ずしも直線状には存在しません。

直線と\(y_i\)の残差は小さい方が好ましく、この残差の二乗和が最小になるように\(a、b\)を求めます。

これが最小二乗法で、\(y=a+bx\)と回帰式は表され、aは切片、bは回帰係数と呼びます。

 

回帰分析の手順

回帰分析に関しては、“計算手順”さえ丸暗記してしまえば全く難しくありません。

回帰分析は相関がありそうな直線関係が見いだされた時に、回帰することに意味があるのかを検討します。

  1. 各平方和を算出
  2. 各自由度を算出
  3. 各不偏分散を算出
  4. 分散比を算出
  5. 得られた分散比とF表の値を比較し、分散比の値が大きければ有意と判断

つまり、回帰による変動が残渣による変動よりも全変動に与える影響が大きいとの証明になります。

 

上記手順を行う場合に、下記に示す分散分析表を作成するのがコツです。

※多くの場合、実際の試験では表は与えられており穴抜き形式で出題されます。

分散分析表
 平方和自由度不偏分散分散比
回帰\(S_R=\frac{(S_{xy})^2}{S_x}\)1\(V_R=S_R\)\(F_0=\frac{V_R}{V_E}\)
残差\(S_E=S_y-\frac{(S_{xy})^2}{S_x}\)n-2\(V_e=\frac{S_E}{n-2}\)
総計\(S_y\)n-1 

回帰する意味に優位性が認められた場合、改めて回帰式を推定します。

求める回帰式は\(y=a+bx\)で表され、\(b=\frac{S_{xy}}{S_x}、a=y-bx\)となります。

xとyの平均値は命題に与えられていたり、表から平均を計算することにより求めることになります。

ここで、先述の寄与率に関しても、\(S_R、S_T\)が既に既知なので求めることができます。

 

実験計画法

実験計画法ではある結果に与えるパラメータ(因子)を変更したときに、特性値に与える影響の有無を検定します。

つまり、因子が元々有するばらつき(級内変動)に対して、因子変更によるばらつき(級間変動)を検定することになります。

この級内変動と級間変動の2成分比較となるので、用いる検定は相関検定の場合と同様にF検定となります。

実験計画法のQC検定出題パターンは以下の通りです。

  • 繰り返し試行した因子Aのみの一元配置法の分散分析
  • 繰り返し試行しない因子Aと因子Bの二元配置法の分散分析
  • 繰り返し試行した因子Aと因子Bの二元配置法の分散分析

 

繰り返し試行した因子Aのみの一元配置法

 

要因平方和自由度不偏分散分散比
因子A

\(S_A=\displaystyle \sum_{i=1} \frac{A_iデータの合計の二乗}{A_iのデータ数}-CT\)

\(\phi_A=水準数-1\)\(V_A=\frac{S_A}{\phi_A}\)\(F_0=\frac{V_A}{V_e}\)
誤差\(S_e=S_T-S_A\)\(\phi_e=\phi_T-\phi_A\)\(V_e=\frac{S_e}{\phi_e}\)
総計\(S_T=\sum (データの二乗)-CT\)\(\phi_T=総データ-1\)  

※\(CT=\frac{(データの総合計)^2}{総データ数}\)

有意と認められた場合には、例によって点推定、区間推定を行います。

点推定は水準の平均値となります。

区間推定は\(\mu\pm t(\phi_e、\alpha)\times \sqrt{\frac{V_e}{n}}\)です。

nは各水準ごとの観測数であり、例えば因子Aの水準ごとに繰り返し数が異なっていても算出可能です。

 

繰り返し試行しない因子Aと因子Bの二元配置法

基本的には、“繰り返し試行がなければ”、一元配置法の場合と変わらず、因子Bの要素が入っただけになります。

要因平方和自由度不偏分散分散比
因子A

\(S_A=\displaystyle \sum_{i=1} \frac{A_iデータの合計の二乗}{A_iのデータ数}-CT\)

\(\phi_A=水準数-1\)\(V_A=\frac{S_A}{\phi_A}\)\(F_0=\frac{V_A}{V_e}\)
因子B\(S_B=\displaystyle \sum_{i=1} \frac{B_iデータの合計の二乗}{B_iのデータ数}-CT\)\(\phi_B=水準数-1\)\(V_B=\frac{S_B}{\phi_B}\)\(F_0=\frac{V_B}{V_e}\)
誤差\(S_e=S_T-S_A-S_B\)\(\phi_e=\phi_T-\phi_A-\phi_B\)\(V_e=\frac{S_e}{\phi_e}\) 
総計\(S_T=\sum (データの二乗)-CT\)\(\phi_T=総データ-1\)  

点推定、区間推定も同様です。

 

繰り返し試行した因子A、因子Bの二元配置法

繰り返し試行が入るとAB間の相互作用を考慮する必要が生じます。

AB間の相互作用を算出するためにはAB二元表を作成する必要が生じます。

基本的には、試験で二元表は与えられています。

AB二元表は繰り返しに得られるデータを足すことで、繰り返し要素を排除した表になります。

AB級間平方和を算出するために使用します。

要因平方和自由度不偏分散分散比
因子A

\(S_A=\displaystyle \sum_{i=1} \frac{A_iデータの合計の二乗}{A_iのデータ数}-CT\)

\(\phi_A=水準数-1\)\(V_A=\frac{S_A}{\phi_A}\)\(F_0=\frac{V_A}{V_e}\)
因子B\(S_B=\displaystyle \sum_{i=1} \frac{B_iデータの合計の二乗}{B_iのデータ数}-CT\)\(\phi_B=水準数-1\)\(V_B=\frac{S_B}{\phi_B}\)\(F_0=\frac{V_B}{V_e}\)
級間\(S_{AB}=\sum \frac{(AB二元表データ)の二乗}{繰り返し数}    -CT\)   
相互作用\(S_{A\times B}=S_{AB}-S_A-S_B\)\(\phi_{A\times B}=\phi_A\times \phi_B\)\(V_{A\times B}=\frac{S_{}A\times B}{\phi_{A\times B}}\)\(F_0=\frac{V_{A\times B}}{V_e}\)
誤差\(S_e=S_T-S_A-S_B-S_{A\times B}\)

\(\phi_e=\phi_T-\phi_A\)

\(-\phi_B-\phi_{A\times B}\)

\(V_e=\frac{S_e}{\phi_e}\) 
総計\(S_T=\sum (データの二乗)-CT\)\(\phi_T=総データ-1\)  

点推定および区間推定は同様ですが、区間推定算出の際に使用するnは以下のように求めます。

有効反復係数\(n_e=\frac{abn}{(1+\phi_A+\phi_B+\phi_{A+B})}\)

a,bはそれぞれ水準数になります。

 

管理図

管理図とは中心線(CL)と管理限界線(上方:UCL、下方:LCL)からなる図です。

これにサンプリングして得られるデータをプロットし、その動向により工程の異常を察知するものです。

試験では、管理限界線の算出が主に要求されます。

管理図基本値UCLLCL
\(\bar{x}-R\)

\(\bar{x}\):群内平均の平均

\(R\):群内範囲の平均

\(\bar{x}+A_2\times \bar{R}\)

\(D_4\times \bar{R}\)

\(\bar{x}-A_2\times \bar{R}\)

\(D_3\times \bar{R}\)

\(\tilde{x}-R\)\(\tilde{x}\):群内メディアンの平均\(\tilde{x}+m_3A_2\times \bar{R}\)\(\tilde{x}-m_3A_2\times \bar{R}\)
\(x-R_s\)\(R_s\):群内移動範囲の平均

\(\bar{x}+2.66\bar{R_s}\)

\(3.27\bar{R_s}\)

\(\bar{x}-2.66\bar{R_s}\)

\(R_s\)の下方は考慮しない

\(np\)\(n\bar{p}=\frac{不良個数の総和}{群の数}\)\(n\bar{p}+3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}\)\(n\bar{p}-3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}\)
\(p\)\(\bar{p}=\frac{\sum np}{\sum n}\)\(\bar{p}+3\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)\(\bar{p}-3\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
\(c\)\(\bar{c}=\frac{\sum c}{k}\)\(\bar{c}+3\sqrt{\bar{c}}\)\(\bar{c}-3\sqrt{\bar{c}}\)
\(u\)\(\bar{u}=\frac{\sum c}{\sum n}\)\(\bar{u}+3\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}}\)\(\bar{u}-3\sqrt{\frac{\bar{u}}{n}}\)

※\(A_2、D_3、D_4、m_3A_2\)は管理図用係数表を用いて、サンプルサイズにより決定します。実際の試験では係数表が与えられているので、数値を代入するだけ。

 

以上で、QC検定2級・3級で頻出の数式一覧紹介は終わりです。

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